mercredi 3 novembre 2010

Équations du second degré 2 année s tunisie

Introduction  
 Les équations du second degré est l'une des parties les plus importantes du programme de 2éme A (ou seconde), il est indispensable de maîtriser sa résolution. On en a besoin pour la résolution de plusieurs problèmes ( voir entre autres: Sciences et Vie Junior-/Décembre 1998/Janvier, Février 1999 ).

Dans le secondaire, elles sont utiles:
Pour trouver les coordonnées des points d'intersection d' une droite et d'une parabole, de deux paraboles et autres intersections de courbes.
Pour déterminer le signe d'un trinôme, pour factoriser un trinôme du second degré...
Définition

Les équations du second degré à une inconnue réelle sont celles qui peuvent se mettre sous la forme : ax² + bx + c = 0  ;où a , b et c sont des réels données avec a  non nul .x étant l'inconnue.
Si a = o, l'équation est du premier degré.

Exemples:  
   3x² - 5x + 7 = 0 ;            a = 3,   b = - 5  et   c = 7.
                      
          -x² + 4 =  0 ;            a = -1,  b = 0    et    c = 4.
                      
        9x² + 2x = 0 ;            a = 9,    b = 2   et    c = 0.

Techniques de résolution:
 Soit l'équation du second degré  ax² + bx + c = 0;  a est non nul; On  calcule la quantité: = b² - 4ac, (ce réel est appelé discriminant de l'équation).
Si  < 0; l'équation n'a pas de racines réelles.
Si   = 0; l'équation admet une seule racine dite double (  x' = x'' = -
Si    > 0; l'équation admet deux racines distinctes.
                     ( x' =    et  x'' = 
  Exemples: 
a/ Soit l'équation  : 2x² + 5x - 3 = 0 à résoudre dans IR.
C'est une équation du second degré à une inconnue  avec a = 2, b = 5 et c = -3
On calcule son discriminent
= b² - 4ac = 5² - 4. 2 .(-3) = 25 + 24 = 49 = 7²
  > 0; alors l'équation admet deux racines distinctes:
x' = qui donne x' = 1/2   et   x'' = qui donne x" = - 3
b/ Soit l'équation:  9x² - 3x + 1/4 = 0 à résoudre dans IR;
  nous avons: a = 9, b = -3  et c = 1/4.
= (-3)² - 4. 9.(-1/4)   = 0; ainsi x' = x" = -= 1/6.
c/ Soit l'équation du second degré 3x² - 7x + 5 = 0 à résoudre dans IR;
= 7² - 4.3.5 = 49 - 60 = - 11; < 0 alors cette équation n'a pas de racine;
. c'est à dire qu'il n'existe aucun réel x pour lequel la quantité (3x² - 7x + 5 ) soit égale à zéro
Cas particuliers :  
Si a + b + c = 0; les racines de l'équation sont évidentes  ( x' = 1 et x'' =  ).
Si a - b + c = 0; les racines de l'équation sont évidentes  ( x' = -1 et x'' = - ).
Exemple: 
Soit (E): (+ )x² - x - = 0 ; comme  a + b + c =   (+ ) +(- )+(-) = 0
ses solutions (ou racines)sont: 1 et  . Calcule   puis essaye de retrouver le résultat .D'où conseils :
 1) Commencer toujours par voir si 1 ou (-1) sont solutions (apparentes) de l'équation.

 2) Remarquons aussi que si  c = 0 , il est inutile de calculer ; il suffit de factoriser      Exemple:
     l'équation s'écrirait par factorisation:
       
  x [x + ] = 0 

     qui donne immédiatement pour solutions : x = 0  et  x =
 3) Si  b = 0 , ramener l'équation à une équation de la forme x² = k.
     Exemple: 
     l'équation: 4x² - 5 = 0  donne  x² =  qui a pour solutions x =

Elles sont  de la forme: ax4 + bx2 + c = 0  ;  il suffit de poser  X = x²
puis de compléter la résolution.
Exemple:
(E):     (-225)x4+ 226x2 - 1 = 0 , en posant   X = x²  on obtient l'équation :
           (-225)X² + 226X - 1 = 0 ;
en toute évidence (voir cas particuliers);
 les solutions de cette dernière sont :
X' = 1  et  X'' = ;
par suite les solutions de (E) sont : 1 , (-1) ,  et  (-; il y en a quatre pour cet exemple.


Exemple d'équation du troisième degré
 On considère l'équation du troisième degré (E) : x3 - x2  - 22x + 40 = 0

 On étudiera le cas ou l'on connaît déjà une solution de l'équation (quelle soit apparente ou que l'énoncé la suggère).
Voici une méthode pour trouver les autres( s'il y en a).
Dans notre exemple x = 2 est  une solution apparente en effet si on remplace x par 2 on obtient:
              23 - 2² - 22.2 + 40 = 0
              8  - 4  -   44   + 40 =  0
On procède de la manière suivante pour déterminer les autres( encore une fois si elles existent).

   On écrit l'équation donnée                        x3 - x²  - 22x + 40 = 0
   On écrit l'égalité réalisée pour x = 2         
23 - 2² - 22.2 + 40 = 0
On retranche membre à membre ces deux égalités on obtient:

                                                     x3 - 2² - (x² - 2² ) - 22(x - 2) = 0. 
Quel bonheur! car en éliminant le terme constant (40) on voit apparaître une factorisation.
En passant, rappelons que : a3 - b= (a - b)(a² + ab + b²)
ainsi l'égalité précédente donne par factorisation :
                                  (x - 2)(x² + 2x + 4) - (x - 2)(x + 2) - 22(x - 2) = 0
                                                        qui donne  (x - 2)(x² + x - 22) = 0

Le fait est que, l'on obtient un produit de deux facteurs dont l'un s'annule pour x = 2 (cela on le savait);
cherchons pour quelle valeur de x l'autre facteur s'annule.
Cela nous ramène à la résolution de l'équation du second degré   x² + x - 22  = 0;
 on la résous comme précédemment et l' on trouve: x' = 4  et x" = - 5.

Conclusion:
l'équation de départ (E) admet trois solutions: x = 2;  x' = 4  et  x" = -5.
    Exemple: 

soit (E) :  ;
Remarquons d'abord que ce radical existe pour tout x réel en effet (x² + 1) est un réel strictement positif.
Si 2x-1< 0 c'est à dire x< 1/2 ; (E) n'a pas de solution en effet le premier membre est positif, le deuxième est négatif
Si 2x - 1  0; c'est à dire x 1/2, en élevant au carré les deux membres de l'équation,
 on obtient une équation équivalente du second degré: 3x² - 4x = 0
 cette dernière donne par factorisation:
 x(3x - 4) = 0 par suite x = 0 (à rejeter) car inférieure à un demi et x = 4/3 qui convient.

Conclusion:
L'ensemble des solutions de l'équation (E) est {4/3}.

    Exemple:  soit l'équation :
- On précise le domaine d'existence des quotients.( x
- En faisant le produit des moyens et des extrêmes ( par exemple); 
 on obtient  l'équation : ( x - 1 )² = (3x + 2)(x +1) qui donne : 2x² + 7x +1 = 0 .
puis on continue la résolution comme précédemment.
   Exemple:
  Soit le système (S) à inconnues x et y suivant :     à résoudre dans IR² 
 En remplaçant y par (3 - 2x) dans la deuxième équation du système,
 on aura une équation de second degré à inconnue x qui est -2x² + 8 = 0.
 on obtient x' = 2  et  x''  = (-2) . 
Les solutions de (S) dans IR² sont alors ( 2 ;-1)  et  ( -2 ; 7) .

Somme et produit des racines

Lorsque l'équation ax² + bx + c= 0 admet deux solutions distinctes ou confondues, donc
 0; leur somme S et leur produit P sont données par S = -   et  P =  .
Ainsi sans calculer les solutions explicitement on peut calculer leur somme et leur produit ceci est utile dans certaines situations.
 Soit l'équation  -2x² + 3x + 5 = 0 .
On se propose de calculer les réels A, B et C tels que :
A = (x'+x'')² +  4x'x''  , B =  + ; C = (x')3 + (x'')3   avec x' et x'' solutions de cette équation.
 On a: a = -2  et c = 5 ainsi a et c sont de signes contraires, par suite cette équation admet deux solutions distinctes x' et x''.
On rappele que : S = -b/a et P = c/a; ainsi S = 3/2   et P = -5/2
Calculons alors les réels:
 A = (x'+x'')² +  4x'x''  , B =  + ; C = (x')3 + (x'')3
a/    A  = (x'+x'')² +  4x'x''  = S² + 4P = ( )² + 4(- ) = -
b/    B =  +  =  =  = -
c/   C = (x')3 + (x'')3 = (x'+x'')3 - 3x'x''(x'+x'') = S3 - 3PS =
Application2:
Recherche de deux réels connaissant leur somme et leur produit.
On rappelle que:
 Deux réels de somme S et de produit P sont solutions de l'équation x² - Sx + P = 0
  Exemple:

Trouvons deux réels ayant pour somme 11 et pour produit 10.
Ces réels ne sont autres que les racines de l'équation: x² -11x + 10 = 0;
 dont les solutions sont évidentes: 1 et 10.

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